Ensembles finis Exemples

${}_{52}C_{13}$

Étape 1

Évaluez ${}_{52}C_{13}$ en utilisant la formule ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$ .

$\frac{52!}{(52 - 13)! 13!}$

Étape 2

Soustrayez $13$ de $52$ .

$\frac{52!}{(39)! 13!}$

Étape 3

Simplifiez $\frac{52!}{(39)! 13!}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $52!$ comme $52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39!$ .

$\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39!}{(39)! 13!}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $39!$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39!}{(39)! 13!}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $52$ par $51$ .

$\frac{2652 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2652$ par $50$ .

$\frac{132600 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.3

Multipliez $132600$ par $49$ .

$\frac{6497400 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.4

Multipliez $6497400$ par $48$ .

$\frac{311875200 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.5

Multipliez $311875200$ par $47$ .

$\frac{14658134400 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.6

Multipliez $14658134400$ par $46$ .

$\frac{674274182400 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.7

Multipliez $674274182400$ par $45$ .

$\frac{30342338208000 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.8

Multipliez $30342338208000$ par $44$ .

$\frac{1335062881152000 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.9

Multipliez $1335062881152000$ par $43$ .

$\frac{57407703889536000 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.10

Multipliez $57407703889536000$ par $42$ .

$\frac{2411123563360512000 \cdot 41 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.11

Multipliez $2411123563360512000$ par $41$ .

$\frac{98856066097780992000 \cdot 40}{13!}$

Étape 3.3.12

Multipliez $98856066097780992000$ par $40$ .

$\frac{3954242643911239680000}{13!}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Développez $13!$ en $13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{3954242643911239680000}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $13$ par $12$ .

$\frac{3954242643911239680000}{156 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $156$ par $11$ .

$\frac{3954242643911239680000}{1716 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $1716$ par $10$ .

$\frac{3954242643911239680000}{17160 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $17160$ par $9$ .

$\frac{3954242643911239680000}{154440 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $154440$ par $8$ .

$\frac{3954242643911239680000}{1235520 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.6

Multipliez $1235520$ par $7$ .

$\frac{3954242643911239680000}{8648640 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $8648640$ par $6$ .

$\frac{3954242643911239680000}{51891840 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.8

Multipliez $51891840$ par $5$ .

$\frac{3954242643911239680000}{259459200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $259459200$ par $4$ .

$\frac{3954242643911239680000}{1037836800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.10

Multipliez $1037836800$ par $3$ .

$\frac{3954242643911239680000}{3113510400 \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.11

Multipliez $3113510400$ par $2$ .

$\frac{3954242643911239680000}{6227020800 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.12

Multipliez $6227020800$ par $1$ .

$\frac{3954242643911239680000}{6227020800}$

Étape 3.5

Divisez $3954242643911239680000$ par $6227020800$ .

$635013559600$